Ký hiệu " b ∣ a {\displaystyle b\mid a} " nghĩa là b {\displaystyle b} là ước của a {\displaystyle a} .

1. Ước tự nhiên khác 1 {\displaystyle 1} nhỏ nhất của một số tự nhiên là số nguyên tố.

Chứng minh: Giả sử d ∣ a {\displaystyle d\mid a} ; d {\displaystyle d} nhỏ nhất; d ≠ 1 {\displaystyle d\neq 1} .

Nếu d {\displaystyle d} không nguyên tố ⇒ d = d 1 d 2 ; d 1 , d 2 > 1. {\displaystyle \Rightarrow d=d_{1}d_{2};\;d_{1},d_{2}>1.}

⇒ d 1 ∣ a {\displaystyle \Rightarrow d_{1}\mid a} với d 1 < d {\displaystyle d_{1}<d} : mâu thuẫn với d {\displaystyle d} nhỏ nhất. Vậy d {\displaystyle d} là nguyên tố.

2. Cho p {\displaystyle p} là số nguyên tố; a ∈ N ; a ≠ 0 {\displaystyle a\in \mathbb {N} ;a\neq 0} . Khi đó

( a , p ) = p ⇔ p ∣ a {\displaystyle (a,p)=p\Leftrightarrow p\mid a} ( a , p ) = 1 ⇔ p ∤ a {\displaystyle (a,p)=1\Leftrightarrow p\not \mid a}

3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố p {\displaystyle p} thì có ít nhất một thừa số chia hết cho p {\displaystyle p} .

Hình minh họa cho thấy thuật toán đơn giản để tìm số nguyên tố và các bội số
Các số tô màu giống nhau là cùng một họ mà dẫn đầu (đậm hơn) sẽ là số nguyên tố p ∣ ∏ i = 1 N a i ⇒ ( ∃ a i ⇒ p ∣ a i ) {\displaystyle p\mid \prod _{i=1}^{N}a_{i}\Rightarrow (\exists a_{i}\Rightarrow p\mid a_{i})}

4. Ước số dương bé nhất khác 1 {\displaystyle 1} của một hợp số a {\displaystyle a} là một số nguyên tố không vượt quá a {\displaystyle {\sqrt {a}}}

5. 2 {\displaystyle 2} là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất

6. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (tương đương với việc không có số nguyên tố lớn nhất).

Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p1 < p2 <... < pn

Xét a = p1.p2.... pn+1

Ta có: a > 1 và a khác pi với mọi i từ 1 đến n => a là hợp số => a có ước nguyên tố pi hay a chia hết cho pi, mà p1p2...pn chia hết chi pi => 1 chia hết cho pi, mâu thuẫn vì pi là số nguyên tố.

Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.